Question

如图，在直角坐标系中，O为原点，B（5，0），M为梯形OBCD底边OB上的一点，OM＜3，OD=BC=2，∠DMC=∠DOM=60°．
（1）求点C的坐标；
（2）求点M的坐标；
（3）∠DMC绕点M顺时针旋转α（α为锐角）后，得到∠D₁MC₁，射线M D₁交直线DC于点E，射线MC₁交直线BC于点F，设DE=m，BF=n，求m与n的函数关系式．

Answer

（1）过点D作DA⊥OB，垂足为A．利用三角函数可求得，点D的坐标为（1，），进而得出C点坐标；
（2）先证明△ODM∽△BMC．得，所以OD•BC=BM•OM．设OM=x，则BM=5-x，得2×2=x（5-x），解得x的值，即可求得M点坐标；
（3）（Ⅰ）当M点坐标为（1，0）时，如图2，OM=1，BM=4．先求得DME∽△CMF，所以，
可得CF=2DE．所以2-n=2m，即m=1-．（Ⅱ）当M点坐标为（4，0）时，OM=4，由OM＜3，得出不合题意，舍去．
【解析】
（1）过点D作DA⊥OB，垂足为A．CN⊥OB，如图1，
在Rt△ODA中，∠DAO=90°，∠DOB=60°，
∴DA=OD•sin∠DOB=，
OA=OD•cos∠DOB=1，
∴点D的坐标为（1，），
∴AO=1，BN=1，
∴点C的坐标为：（4，）；

（2）∵∠CBM+∠CMB+∠MCB=180°，
∠DMC+∠MDC+∠DCM=180°，
∠DOB=∠CBM=∠DMC=60°，
∴∠CMB+∠MCB=∠MDC+∠DCM，
∵∠OMD+∠DMC+∠BMC=180°，∠CDM=∠DMO，∠CMB=∠DCM，
∴∠MDC=∠DMO=∠MCB，
∴△ODM∽△BMC，
∴，
∴OD•BC=BM•OM，
∵B点为（5，0），
∴OB=5．
设OM=x，则BM=5-x，
∵OD=BC=2，
∴2×2=x（5-x），
解得x1=1，x2=4，
∵OM＜3，
∴OM=4舍去，
∴M点坐标为（1，0）；

（3）（Ⅰ）当M点坐标为（1，0）时，如图2，
OM=1，BM=4．
∵DC∥OB，
∴∠MDE=∠DMO，
又∵∠DMO=∠MCB，
∴∠MDE=∠MCB，
∵∠DME=∠CMF=α，
∴△DME∽△CMF，
∴，
∴CF=2DE，
∵CF=2-n，DE=m，
∴2-n=2m，即m=1-；
（Ⅱ）当M点坐标为（4，0）时，如图3，
∵OM＜3，
∴M点坐标为（4，0）时，不合题意，舍去．