Question

如图，等边△ABC，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F．
（1）试求出∠AFE的度数．
（2）△AEF与△ABE相似吗？说说你的理由．
（3）BD²=AD•DF吗？请说明理由．

Answer

（1）根据等边三角形的性质，可得AB=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，即可证明△ABD≌△BEC，即可以求得∠AFE=∠1+∠3=60°；
（2）根据∠AEF=∠AEB，∠AFE=∠BAE=60°，即可证明△AEF∽△ABE；
（3）易证△ABD∽△BFD，即可得化简得BD2=AD•DF．
【解析】
（1）△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，
在△ABD和△BCE中，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠1=∠2，
又∵∠AFE=∠2+∠3，
∴∠AFE=∠1+∠3=60°；

（2）在△AEF和△ABE中
∠AEF=∠AEB，∠AFE=∠BAE=60°，
∴△AEF∽△BEA；

（3）在△ABD和△BFD中，
∠BDF=∠ADB，∠1=∠2，
∴△ABD∽△BFD，
∴，
∴BD2=AD•DF．