Question

在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，将△ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将△ACD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M．
（1）判断四边形AEMF的形状，并给予证明；
（2）若BD=1，CD=2，试求四边形AEMF的面积．

Answer

（1）根据折叠的性质知∠BAD=∠EAB，∠DAC=∠CAF，即∠EAF=2∠BAC=90°；而∠E=∠ADB=∠F=∠ADC=90°，由此可证得四边形AEMF是矩形；而AE=AF=AD，所以四边形AEMF是正方形；
（2）欲求正方形的面积，需求出正方形的边长，可设正方形的边长为x；由折叠的性质知BE=BD，CD=CF，即可用x表示出BM、MC的长，进而可在Rt△BMC中，由勾股定理求得正方形的边长，即可得到正方形的面积．
【解析】
（1）∵AD⊥BC，
△AEB是由△ADB折叠所得，
∴∠1=∠3，∠E=∠ADB=90°，BE=BD，AE=AD．
又∵△AFC是由△ADC折叠所得，
∴∠2=∠4，∠F=∠ADC=90°，FC=CD，AF=AD．
∴AE=AF．（2分）
又∵∠1+∠2=45°，
∴∠3+∠4=45°．
∴∠EAF=90°．（3分）
∴四边形AEMF是正方形．（5分）

（2）方法一：设正方形AEMF的边长为x；
根据题意知：BE=BD，CF=CD，
∴BM=x-1；CM=x-2．（7分）
在Rt△BMC中，由勾股定理得：BC2=CM2+BM2
∴（x-1）2+（x-2）2=9，
x2-3x-2=0，
解之得：（舍去）．
∴．（10分）
方法二：设：AD=x
∴=
∴S五边形AEBCF=2S△ABC=3x（7分）
∵
且S正方形AEMF=S五边形AEBCF+S△BMC，
∴即x2-3x-2=0，
解之得：，（舍去），
∴．（10分）