Question

已知m是不等式组的整数解，a、b是关于x的方程x²-mx-m=0的两个实根．  
求：（1）a³+b³的值；  
（2）a⁴+3b的值．

Answer

先解不等式组，求出m，再把m的值代入方程可得x2-x-1=0，利用根与系数的关系可得，a+b=1，ab=-1，利用立方公式、整体代入可求a3+b3的值；
由于a是方程的解，那么a2-a-1=0，易得a2=a+1，再把a2=a+1整体代入a4+3b中，结合a+b=5，易求值．
【解析】
由不等式解得，
∵m为整数，
∴m=1，
方程x2-x-1=0的两根为a，b，
（1）由根与系数关系，
∴a3+b3=（a+b）3-3ab（a+b）=4，
（2）由于a，b是方程的两根，因此有：a2-a-1=0，即a2=a+1，
∴a4=（a+1）2=a2+2a+1=（a+1）2+2a+1=3a+2，
原式=3a+2+3b=3（a+b）+2=5．