Question

已如：如图，在直角坐标系中，以y轴上的点C为圆心，2为半径的圆与x轴相切于原点O，AB为⊙C的直径，PA切⊙O于点A，交x轴的负半轴于点P，连接PC交OA于点D．
（1）求证：PC⊥OA；
（2）若点P在x轴的负半轴上运动，原题的其他条件不变，设点P的坐标为（x，0），四边形
POCA的面积为S，求S与点P的横坐标x之间的函数关系式；
（3）在（2）的情况下，分析并判断是否存在这样的一点P，使S_{四边形POCA}=S_△AOB，若存在，直接写出点P的坐标（不写过程）；若不存在，简要说明理由．

Answer

（1）本题可根据切线长定理得出PC平分∠ACO，然后根据垂径定理即可得出PC⊥AO．
（2）由于△PAC≌△POC，因此两三角形的面积相等，四边形POCA的面积实际是2倍的△POC的面积．由此可求出S与x的函数关系式．
（3）根据圆的对称性可知A、B两点到y轴的距离应该相等，因此△BOC的面积和△ACO的面积相等，（2）中得出△POC与△PAC的面积相等，因此S四边形POCA=S△AOB能得出的条件是△AOC和△POC的面积相等，由于两三角形同底，因此高相等即PA∥OC，因此四边形PACO是个矩形（实际是个正方形），由此可得出AC=OP=r，由此可求出P点的坐标．
（1）证明：∵⊙C与x轴相切于原点O，点P在x轴上，
∴PO与⊙C相切于点O，
又∵PA切⊙C于点A，
∴PO=PA，PC平分∠APO，
∴PC⊥OA．

（2）【解析】
S四边形POCA=2S△POC=2×（-x）×2=-2x，
即S=-2x（x＜0）．

 （3）【解析】
存在这样的一点P，其坐标为（-2，0），
∵S△AOB=2S△AOC，S四边形POCA=2S△POC，
∴S△AOC=S△POC，
∴PA∥OC；
又∵∠POC=90°，
∴∠APO=90°，
∵∠PAC=∠POC=90°，
∴四边形POCA是矩形，
∴OP=AC=2，
∴P（-2，0）．