Question

如图，抛物线与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在x轴上找一点D，使得以点A、C、D为顶点的三角形是直角三角形，求点D的坐标．

Answer

（1）由条件抛物线经过A（1，0），B（-3，0）和C（0，3）．由待定系数法就可以直接求出抛物线的解析式．
（2）由条件可以知道∠CAD不可能为直角，从∠ADC和∠ACD′是直角来讨论可以求出点D的坐标．
解；（1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x+3），由题意，得
3=-3a，
∴a=-1，
∴抛物线的解析式为：y=-（x-1）（x+3），即y=-x2+2x+3．

（2）∵点D在x轴上，
∴在Rt△ACD中，∠CAD不可能为直角．
当∠ADC=90°时，D点与O点重合，
∴D（0，0），
当∠ACD′=90°时，
∴∠D′CO+∠ACO=90°．
∵∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠D′CO=∠OAC，
∴△D′CO∽△CAO，
∴，
∴，
∴D′O=9，
∴D′（-9，0）．
综上所述，D点的坐标为：（0，0）或（-9，0）