Question

已知：如图，正方形ABCD的边长为a，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN=45°，连接MC，NC，MN．
（1）填空：与△ABM相似的三角形是△______，BM•DN=______；（用含a的代数式表示）
（2）求∠MCN的度数；
（3）猜想线段BM，DN和MN之间的等量关系并证明你的结论．

Answer

（1）如图（3）由条件可以得出∠BMA=∠3，∠ABM=∠ADN=135°，就可以得出△ABM∽△NDA，利用相似三角形的性质就可以的得出BM•DN=a2．
（2）由△ABM∽△NDA，可以得出BM：DA=AB：ND，再由正方形的性质通过等量代换就可以得出△BCM∽△DNC．利用角的关系和圆周角的度数就可以求出结论．
（3）将△AND绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，连接MF，证明△ABF≌△ADN．利用边角的关系得出△BMF是直角三角形，由勾股定理就可以得出结论．
【解析】
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵BM，DN分别平分正方形的两个外角，
∴∠CBM=∠CDN=45°，
∴∠ABM=∠ADN=135°，
∵∠MAN=45°，
∴∠BMA=∠NAD，
∴△ABM∽△NDA，
∴
∴BM•DN=a2．

（2）由（1）△ABM∽△NDA可得BM：DA=AB：ND．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DC，DA=BC，∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°．
∴BM：BC=DC：ND．
∵BM，DN分别平分正方形ABCD的两个外角，
∴∠CBM=∠NDC=45°．
∴△BCM∽△DNC．
∴∠BCM=∠DNC．
∴∠MCN=360°-∠BCD-∠BCM-∠DCN=270°-（∠DNC+∠DCN）=270°-（180°-∠CDN）=135°．

（3）线段BM，DN和MN之间的等量关系是BM2+DN2=MN2．
证明：如图，将△AND绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，连接MF．则
△ABF≌△ADN． 
∴∠1=∠3，AF=AN，BF=DN，∠AFB=∠AND．
∴∠MAF=∠1+∠2=∠2+∠3=∠BAD-∠MAN=45°．
∴∠MAF=∠MAN．
又∵AM=AM，
∴△AMF≌△AMN．
∴MF=MN．
可得∠MBF=（∠AFB+∠1）+45°=（∠AND+∠3）+45°=90°．
∴在Rt△BMF中，BM2+BF2=FM2．
∴BM2+DN2=MN2．