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已知:在如图1所示的平面直角坐标系xOy中,A,C两点的坐标分别为A(2,3),...

已知:在如图1所示的平面直角坐标系xOy中,A,C两点的坐标分别为A(2,3),C(n,-3)(其中n>0),点B在x轴的正半轴上.动点P从点O出发,在四边形OABC的边上依次沿O-A-B-C的顺序向点C移动,当点P与点C重合时停止运动.设点P移动的路径的长为l,△POC的面积为S,S与l的函数关系的图象如图2所示,其中四边形ODEF是等腰梯形.
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(1)结合以上信息及图2填空:图2中的m=______
(1)利用当P点运动到A点时,△POC的面积为12,求出斜边AO即可; (2)图1中四边形ODEF是等腰梯形,点D的坐标为D(m,12),得出yE=yD=12,此时图2中点P运动到与点B重合,利用三角形面积求出OB的长,进而得出B点坐标,以及利用△ABM≌△CON得出C点坐标和利用勾股定理求出FO的长; (3)根据当点P恰为经过O,B两点的抛物线的顶点时,当BP为以B,P,Q,R为顶点的菱形的边时,当BP为以B,P,Q,R为顶点的菱形的对角线时,分别分析得出即可. 【解析】 (1)根据图中得出: 当P点运动到A点时,△POC的面积为12, ∴AO==, ∴m=, 故答案为:; (2)∵图1中四边形ODEF是等腰梯形,点D的坐标为D(m,12), ∴yE=yD=12,此时图2中点P运动到与点B重合, ∵点B在x轴的正半轴上, ∴S△BOC==×OB×3=12. 解得 OB=8,点B的坐标为(8,0).  此时作AM⊥OB于点M,CN⊥OB于点N. (如图2). ∵点C的坐标为C(n,-3), ∴点C在直线y=-3上. 又∵由图1中四边形ODEF是等腰梯形可知图2中的点C在过点O与AB平行的直线l上, ∴点C是直线y=-3与直线l的交点,且∠ABM=∠CON. 又∵|yA|=|yC|=3,即AM=CN, 可得△ABM≌△CON. ∴ON=BM=6,点C的坐标为C(6,-3). ∵图2中 AB===. ∴图1中DE=,OF=2xD+DE=.  (3)①当点P恰为经过O,B两点的抛物线的顶点时,作PG⊥OB于点G. (如图3) ∵O,B两点的坐标分别为O(0,0),B(8,0), ∴由抛物线的对称性可知点P的横坐标为4,即OG=BG=4.由tan∠ABM===可得PG=2. ∴点P的坐标为P(4,2), 设抛物线W的解析式为y=ax(x-8)(a≠0). ∵抛物线过点P(4,2), ∴4a(4-8)=2. 解得 a=. ∴抛物线W的解析式为y=+x. ②如图4. i)当BP为以B,P,Q,R为顶点的菱形的边时, ∵点Q在直线y=-1上方的抛物线W 上,点P为抛物线W的顶点, 结合抛物线的对称性可知点Q只有一种情况,点Q与原点重合,其坐标为Q1(0,0). ii)当BP为以B,P,Q,R为顶点的菱形的对角线时,可知BP的中点的坐标为(6,1),BP的中垂线的解析式为y=2x-11. ∴点Q2的横坐标是方程+x=2x-11的解. 将该方程整理得 x2+8x-88=0. 解得x=-4±. 由点Q在直线y=-1上方的抛物线W上,结合图4可知点Q2的横坐标为-4. ∴点Q2的坐标是Q2(-4,-19).  综上所述,符合题意的点Q的坐标是Q1(0,0),Q2(-4,-19).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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