Question

已知二次函数y=x²-mx-m²，其中m≠0．
（1）试说明该函数图象与x轴总有两个交点；
（2）设该函数图象与x轴两交点为A，B．且它的顶点在以AB为直径的圆上，求m的值；
（3）设该函数图象与y轴两交点为A，B．若以AB为直径的圆与y轴交于点C，D，求弦CD的长（用m表示）．

Answer

（1）依题意可得△=4m2得出△＞0，可得出二次函数图象与x轴总有公共点；
（2）利用根与系数的关系得出AB的长以及二次函数的顶点坐标，进而得出m的值；
（3）利用垂径定理以及勾股定理求出CD的长即可．
【解析】
（1）△=（-m）2-4×1×（-m2）=4m2，
∵m≠0，∴4m2＞0，
∴△＞0．
∴对于任意实数m，该函数图象与x轴总有两个交点；

（2）y=x2-mx-m2，
设AB点的坐标分别为A（x1，0），B（x2，0），
则x1+x2=-=m，x1•x2==-m2，
∴AB=|x1-x2|===2m，
-=，
=-m2，
∴顶点坐标是（，-m2），
∵抛物线的顶点在以AB为直径的圆上，
∴AB=2m，
即2m=2m2，
解得m=1或0（不合题意舍去），
∴m=1；

（3）由（2）得：圆的半径为m，
弦CD的弦心距为，
∴CD==m，
∴CD=m．