Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=4，DC=4，点P在边BC上运动（与B、C不重合），设PC=x，四边形ABPD的面积为y．
（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若以D为圆心、1为半径作⊙D，以P为圆心、以PC的长为半径作⊙P，当x为何值时，⊙D与⊙P相切？并求出这两圆相切时四边形ABPD的面积．

Answer

（1）如图作DE⊥BC于E，由矩形的性质可以得出DE=AB，由勾股定理可以得出EC的值，进而表示出EP．从而求出BP，再根据梯形的面积公式可以表示出梯形的面积就可以表示出y与x之间的函数的关系式．由点P不与B、C重合，从而可以得出x的范围．
（2）设PC=a时，⊙D与⊙P相切，则PD=a+1，PE=4-a，在Rt△EPD中由勾股定理就可以求出a的值，代入（1）的解析式就可以求出四边形ABPD的面积．
【解析】
作DE⊥BC于E，
∴∠BED=90°，
∵AB⊥BC，
∴∠B=90°
∵AD∥BC，
∴∠A=90°，
∴四边形ABED是矩形．
∴AD=BE，AB=DE，
∵AD=2，AB=4，
∴BE=2，DE=4，
在Rt△DEC中，由勾股定理，得
EC===4，
∴BC=6，
∵PC=x，
∴BP=6-x，
y=×4×（2+6-x）
=-2x+16．
∵P点与B、C不重合，
∴0＜x＜6．
（2）①设PC=a，
∵⊙D与⊙P相切，且⊙D的半径为1，
∴PD=a+1，PE=4-a．
在Rt△EPD中由勾股定理，得
16+（4-a）2=（a+1）2
解得：a=3.1．
即PC=3.1时⊙D与⊙P相切．
此时S四边形ABPD=[2+（6-3.1）]×4×，
=9.8

②设PC=b，
∵⊙D与⊙P相切，且⊙D的半径为1，
∴PD=b-1，PF=b-4，DF=4，
在Rt△EPD中由勾股定理，得
（b-1）2=（b-4）2+16
解得：b=．
即PC=时⊙D与⊙P相切．
此时S四边形ABPD=[2+（6-）]×4=．