Question

如图，D是半径为R的⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交直径AB的延长线于点C，下列四个条件：①AD=CD；②∠A=30°；③∠ADC=120°；④DC=R．其中，使得BC=R的有（填正确结论的序号）    ．

Answer

作出常用辅助线，过圆心连接切点，利用切线的性质定理，可以求出各边以及各角之间的关系．
【解析】
连接OD，
∵CD是圆的切线
∴OD⊥CD
当AD=CD，∴∠A=∠C
∵AO=OD，∠A=∠ADO，∴∠A=∠C=∠ADO，
又∵∠DOC=∠A+∠ADO
∵∠DOC+∠C=90°
∴∠A=∠C=∠ADO=30°
根据在直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半，OD=OC=R
∵OB=R，所以BC=R
即：①AD=CD符合要求，
当∠A=30°，∵AO=OD
∴∠ADO=30°，
∴∠DOC=60°，
∵OD⊥CD，
∴∠C=30°
根据在直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半，OD=OC=R
∵OB=R，所以BC=R
即：②∠A=30°正确
当∠ADC=120°，OD⊥CD
∴∠ADO=30°，∠A=30°
∴∠DOC=60°
∴∠C=30°
根据在直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半，OD=OC=R
∵OB=R，所以BC=R
即：③∠ADC=120°正确，
当DC=R，∵OD=R，OD⊥CD，
∴OC=R，∵OB=R，∴BC=R-R
所以④DC=R，不能使得BC=R
故填：①②③