Question

如图1，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OMN的斜边ON在x轴上，顶点M的坐标为（3，3），MH为斜边上的高．抛物线C：与直线及过N点垂直于x轴的直线交于点D．点P（m，0）是x轴上一动点，过点P作y轴的平行线，交射线OM于点E．设以M、E、H、N为顶点的四边形的面积为S．
（1）直接写出点D的坐标及n的值；
（2）判断抛物线C的顶点是否在直线OM上？并说明理由；
（3）当m≠3时，求S与m的函数关系式；
（4）如图2，设直线PE交射线OD于R，交抛物线C于点Q，以RQ为一边，在RQ的右侧作矩形RQFG，其中RG=，直接写出矩形RQFG与等腰直角三角形OMN重叠部分为轴对称图形时m的取值范围．

Answer

（1）根据勾股定理和M的坐标即可求出D的坐标和n的值；
（2）设直线OM的解析式为y=kx，k≠0，根据M（3，3）在直线OM上，得到y=x．求出y=-x2+2x的顶点坐标代入即可；
（3）已知了M点的坐标，即可求出OH、MH的长，由于△OHM是等腰直角三角形，即可确定ON的长；欲求四边形MNHE的面积，需要分成两种情况考虑：
①0＜m＜3时，②6＞m＞3时，③m＞6时，根据上述3种情况阴影部分的面积计算方法，可求出不同的自变量取值范围内，S、m的函数关系式；
（4）根据等腰直角三角形和等腰三角形的性质，即可求出m的范围．
（1）【解析】
D的坐标是（6，3），n的值是2．

（2）【解析】
抛物线的顶点坐标在直线OM上，
理由是：设直线OM的解析式为y=kx，k≠0，
∵M（3，3）在直线OM上，
∴y=x．
即直线OM的解析式为：y=x．
∵y=-x2+2x的顶点坐标为（4，4），
∴抛物线C的顶点在直线OM上；

（3）【解析】
根据题意，M（3，3），N（6，0）．
∵点P的横坐标为m，PE∥y轴交OM于点E，
∴E（m，m）．
当0＜m＜3时，如图1，
S=S△OMN-S△OEH
=．
当3＜m＜6时，如图2，
由勾股定理得：OM==3，
同理ON=6，
S=S△OEN-S△OMH，
=×6m-×3×3，
=3m-；
当m＞6时，如图2，
S=S△EON-S△OMH
=×6m-×3×3
=3m-．

（4）【解析】
分为三种情况：①为当四边形为正方形时，此时m=3-，
②当MH平分QF时，此时m=，
③矩形RQFG与等腰直角三角形OMN重叠部分为轴对称图形时，从M开始，到直线OD与抛物线的交点D为止（不包括D点），即m取值范围是3≤m＜4．