Question

如图，△ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB上的点，且CD=BF，以AD为边作等边△ADE．
（1）求证：△ACD≌△CBF；
（2）点D在线段BC上何处时，四边形CDEF是平行四边形且∠DEF=30°．

Answer

（1）在△ACD和△CBF中，根据已知条件有两边和一夹角对应相等，可根据边角边来证明全等．
（2）当∠DEF=30°，即为∠DCF=30°，在△BCF中，∠CFB=90°，即F为AB的中点，又因为△ACD≌△CBF，所以点D为BC的中点．
证明：（1）由△ABC为等边三角形，AC=BC，∠FBC=∠DCA，
在△ACD和△CBF中，
，
所以△ACD≌△CBF（SAS）；

（2）当D在线段BC上的中点时，四边形CDEF为平行四边形，且角DEF=30度
按上述条件作图，
连接BE，

在△AEB和△ADC中，
AB=AC，∠EAB+∠BAD=∠DAC+∠BAD=60°，即∠EAB=∠DAC，AE=AD，
∴△AEB≌△ADC（SAS），
又∵△ACD≌△CBF，
∴△AEB≌△ADC≌△CFB，
∴EB=FB，∠EBA=∠ABC=60°，
∴△EFB为正三角形，
∴EF=FB=CD，∠EFB=60°，
又∵∠ABC=60°，
∴∠EFB=∠ABC=60°，
∴EF∥BC，
而CD在BC上，∴EF平行且相等于CD，
∴四边形CDEF为平行四边形，
∵D在线段BC上的中点，
∴F在线段AB上的中点，
∴∠FCD=×60°=30°
则∠DEF=∠FCD=30°．