Question

如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（-3，O），C（，O）．
（1）求⊙M的半径；
（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH．
（3）在（2）的条件下求AF的长．

Answer

（1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长；
（2）连接AE，由圆周角定理可得出∠E=∠ABC=∠AFE，再根据在同一个三角形中等角对等边及等腰三角形的性质即可解答；
（3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．
【解析】
（1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM，
∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径，
∴BT=TC=BC=2，
∴BM==4；

（2）如图（二），连接AE，
证明：∵点B，和点C关于过点M且平行于y轴的直线对称，所以AM垂直平分BC交BC于D，且点D是坐标的原点，
∴∠ADB=90°，∵CE垂直AB于H，∴∠AHF=90°，
∴点H，B，D，F，四点共圆，∴∠AFH=∠ABC，∠ABC=∠E，∴∠E=∠AFH，
∴AE=AF，
∵CE垂直AB于H，
∴AH说是EF的中线，
∴EH=FH；

（3）由（1）易知，∠BMT=∠BAC=60°，
作直径BG，连CG，则∠BGC=∠BAC=60°，
∵⊙O的半径为4，
∴CG=4．
连AG，
∵∠BCG=90°，
∴CG⊥x轴，
∴CG∥AF，
∵∠BAG=90°，
∴AG⊥AB，
∵CE⊥AB，
∴AG∥CE，
∴四边形AFCG为口，
∴AF=CG=4．