Question

小丽将一个边长为2a的正方形纸片ABCD折叠，顶点A落到CD边上的点M的位置，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G（如图）．在折叠过程中，小丽发现当点M在CD边上的任意位置时，（点C，D除外），△CMG的周长总是相等的，那么△CMG的周长为    ．

Answer

设CM=x，DE=y，则DM=2a-x，EM=2a-y，然后利用正方形的性质和折叠可以证明△DEM∽△CMG，利用相似三角形的对应边成比例可以把CG，MG分别用x，y分别表示，△CMG的周长也用x，y表示，然后在Rt△DEM中根据勾股定理可以得到4ax-x2=4ay，进而求出△CMG的周长．
【解析】
设CM=x，DE=y，则DM=2a-x，EM=2a-y，
∵∠EMG=90°，
∴∠DME+∠CMG=90°．
∵∠DME+∠DEM=90°，
∴∠DEM=∠CMG，
又∵∠D=∠C=90°△DEM∽△CMG，
∴，即
∴CG=
△CMG的周长为CM+CG+MG=
在Rt△DEM中，DM2+DE2=EM2
即（2a-x）2+y2=（2a-y）2
整理得4ax-x2=4ay，
∴CM+MG+CG===4a．
所以△CMG的周长为4a．
故答案为：4a．