Question

如图，已知以点O为两个同心圆的公共圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．
（1）求证：AC=BD；
（2）若AB=8，CD=4，求圆环的面积．

Answer

（1）首先过点O作OE⊥AB于E，由垂径定理可证得AE=BE，CE=DE，继而可得AC=BD；
（2）首先连接OA，OC，由勾股定理可得：OE2=OA2-AE2，OE2=OC2-CE2，继而可得OA2-OC2=12，则可求得圆环的面积．
【解析】
（1）过点O作OE⊥AB于E，
∴AE=BE，CE=DE，
∴AE-CE=BE-DE，
∴AC=BD；

（2）连接OA，OC，
在Rt△AOE与Rt△OCE中：OE2=OA2-AE2，OE2=OC2-CE2，
∴OA2-AE2=OC2-CE2，
∴OA2-OC2=AE2-CE2，
∵AB=8，CD=4，
∴AE=4，CE=2，
∴OA2-OC2=12，
∴圆环的面积为：πOA2-πOC2=π（OA2-OC2）=12π．