Question

如图，直角坐标系中，A（-2，0），B（8，0），以AB为直径作半⊙P交y轴于M，以AB为一边作正方形ABCD．
（1）直接写出C、M两点的坐标．
（2）连接CM，试判断直线CM与⊙P的位置关系，并证明你的结论．

Answer

（1）因为ABCD为正方形，且边长为10，所以易得C点坐标；连接PM，根据P点坐标和半径求OM可得M点坐标．
（2）根据CM、PM、PC的长判定△PCM为直角三角形，得∠PMC=90°，从而判断相切．或证△PCM≌△PCB得证．
【解析】
（1）∵A（-2，0），B（8，0），
∴AB=10．
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=AB=10，
∴C（8，10）．
连MP，PC；
在Rt△OPM中，OP=3，MP=5，
∴OM=4，即M（0，4）．

（2）CM与⊙P相切．
理由：Rt△CBP中，CB=10，BP=5，
∴CP2=125．
△CEM中，EM=6，CE=8，
∴CM2=100．
∵100+25=125，
∴△CMP中，CM2+MP2=CP2，
∴∠CMP=90°．
即：PM⊥CM．
∴CM与⊙P相切．