Question

已知关于x的方程（a-1）x²+2（a-2）x+a+1=0
（1）就a的值讨论方程根的情况；
（2）若原方程有实数根x=k，求代数式a（k+1）²-（k²+4k-5）值．

Answer

（1）分a=1和a≠1两种情况就可以得到方程根的情况；
（2）将x=k代入原方程整理后a（k+1）2-（k2+4k-1）=0后代入a（k+1）2-（k2+4k-5）即可求解．
【解析】
（1）当a=1时，（a-1）x2+2（a-2）x+a+1=0变为2（a-2）x+a+1=0，
此时方程有一个实数根；
当a≠1时，△=4（a-2）2-4（a+1）（a-1）=-16a+20
∴当-16a+20＞0即a＜时原方程有两个不相等的实数根；
当-16a+20=0即a=时原方程有两个相等的实数根；
当-16a+20＜0即a＞时原方程没有实数根；

（2）将x=k代入（a-1）x2+2（a-2）x+a+1=0得：
（a-1）k2+2（a-2）k+a+1=0
展开得：ak2-k2+2ak-4k+a+1=0
a（k2+2k+1）-（k2+4k-1）=0
整理得：a（k+1）2-（k2+4k-1）=0
∴a（k+1）2-（k2+4k-5）=a（k+1）2-（k2+4k-1）+4=0+4=4．