Question

下列说法：
（1）b=a+c时，方程ax²+bx+c=0（a≠0）一定有实数根；
（2）b²-5ac＞0时，关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根；
（3）若关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根，则方程cx²+bx+a=0也一定有两个不相等的实数根；
（4）关于x的方程（a²-8a+20）x²+2ax+1=0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．
其中正确的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

（1）由b=a+c，可知b2-4ac=b2+4c2≥0，故方程有实数根；
（2）利用b2-4ac＞0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，进而得出b2-5ac＞0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；
（3）由a-b+c=0得：b=a+c，所以b2-4ac=（a+c）2-4ac=（a-c）2≥0，故方程有实数根，但不一定有两个实数根．
（4）若方程ax2+bx+c=O有两个实数根，但c可能等于0，当c=0时，方程cx2+bx+a=0会变为一元一次方程，此时只有一个实数根．
【解析】
（1）∵b=a+c，
∴b2-4ac
=（a+c）2-4ac
=（a-c）2≥0，
故方程有实数根．
故（1）正确．
（2）∵b2-4ac＞0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，
当b2-5ac＞0时，则b2-4ac＞0，故关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，
故此选项正确；
（3）若方程ax2+bx+c=O有两个实数根，
但c可能等于0，当c=0时，
方程cx2+bx+a=0会变为一元一次方程，
此时只有一个实数根．
故（3）错误．
（4）：∵a2-8a+20=（a-4）2+4≥4，
∴无论a取何值，a2-8a+20≥4，即无论a取何值，原方程的二次项系数都不会等于0，
∴关于x的方程（a2-8a+20）x2+2ax+1=0，无论a取何值，该方程都是一元二次方程．
故（4）正确；
故正确的有3个，
故选C．