Question

如图，A（0，6），C（1，0），H（0，1），且BH⊥AC．

（1）求点B的坐标；
（2）如图，若A，B，C在⊙M上，MN⊥BC于点N，求证：AH=2MN；

（3）以O为圆心，OA为半径作扇形OAB（如图），P为扇形OAB的 上异于A，B的动点，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，D，Q在EF上，且ED=DQ=QF．①当点P在 上运动时，在线段PE，PD，ED中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度，若不存在，请说明理由．②PE²+3PQ²的值是定值吗？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．

Answer

（1）延长BH，设于AC交于点P，根据余角的性质，即可推出∠HBO=∠CAO，易证Rt△BOH≌Rt△AOC，则OA=OB，即可得到B点坐标；
（2）⊙M交y轴于D，过M点作MG⊥OA于G，根据圆周角定理得到∠DBC=∠DAC，则∠DBO=∠HBO，得到OD=OH=1，再根据垂径定理得DG=AG=DA=3.5，则OG=3.5-1=2.5，利用矩形的性质得MN=OG=2.5，而AH=AO-OH=6-1=5，即可得到结论；
（3）①四边形PEOF为矩形，线段PF和PE的长随P的变化而变化，则EF=OP=6，而ED=DQ=QF，则DE=EF=2；
②过Q作QC⊥PF于C，则QC∥PE，得到CQ：PE=FC：FP=FQ：FE=1：3，求得CQ=PE，CF=PF，在Rt△PCQ中利用勾股定理得PQ2=PC2+CQ2，然后进行线段代换即可得到PPE2+3PQ2=PE2+PF2+PE2=（PF2+PE2）=EF2=×62=48．
【解析】
（1）延长BH交AC于P，如图，
∵BH⊥AC，
∴∠HBO=∠OAC，
∵C（1，0），H（0，1），
∴OH=OC，
∴Rt△BOH≌Rt△AOC，
∴OB=OA，
而A（0，6），
∴B（-6，0）；

（2）⊙M交y轴于D，过M点作MG⊥OA于G，如图，
∴∠DBC=∠DAC，
∴∠DBO=∠HBO，
∴OD=OH=1，
∴DG=AG=DA=3.5，
∴OG=3.5-1=2.5，
而MN⊥BC，
∴四边形MNOG为矩形，
∴MN=OG=2.5，
又∵AH=AO-OH=6-1=5，
∴AH=2MN；

（3）①存在长度不变的线段DE．
∵PE⊥OA，PF⊥OB于F，
∴四边形PEOF为矩形，线段PF和PE的长随P的变化而变化，
∴EF=OP=6，
而ED=DQ=QF，
∴DE=EF=2；
②PE2+3PQ2的值是定值．
过Q作QC⊥PF于C，如图，
∴QC∥PE，
∴CQ：PE=FC：FP=FQ：FE=1：3，
∴CQ=PE，CF=PF，
∴PC=PF，
在Rt△PCQ中，PQ2=PC2+CQ2，
∴PQ2=PF2+PE2，
∴PE2+3PQ2=PE2+PF2+PE2=（PF2+PE2）=EF2=×62=48．