Question

已知三个关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0，bx²+cx+a=0，cx²+ax+b=0恰有一个公共实数根，求的值．

Answer

设三个关于x的一元二次方程的公共实数根为t，根据一元二次方程的解的意义得到at2+bt+c=0①，bt2+ct+a=0②，ct2+at+b=0③，然后把①+②+③得（a+b+c）t2+（a+b+c）t+（a+b+c）=0，而t2+t+1=（t+）2+＞0，所以只有a+b+c=0，即a+b=-c；再把所求的分式通分得到，接着把a3+b3用立方和公式分解，然后用-c代换a+b，原分式约分后把a2+b2配方，再用-c代换a+b，最后进行约分即可得到原分式的值．
【解析】
设三个关于x的一元二次方程的公共实数根为t，
则at2+bt+c=0①，bt2+ct+a=0②，ct2+at+b=0③，
①+②+③得（a+b+c）t2+（a+b+c）t+（a+b+c）=0，
∴（a+b+c）（t2+t+1）=0，
而t2+t+1=（t+）2+，
∵（t+）2≥0，
∴t2+t+1＞0，
∴a+b+c=0，
∴a+b=-c，
原式=
=
=
=
=
=
=3．