Question

如图1，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，E恰为BC的中点，AD=AE．
（1）如图2，点P在线段BE上，作EF⊥DP于点F，连接AF．求证：DF-EF=AF；
（2）请你在图3中画图探究：当P为射线EC上任意一点（P不与点E重合）时，作EF⊥DP于点F，连接AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论．

Answer

（1）将△AEF绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，可以证得：△AGF是等腰直角三角形，则，据此即可证得；
（2）仿照（1）即可得到结论，可以得到：DF-EF=AF．
【解析】
（1）证明：∵在□ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E
∴AE⊥AD于A，∠FPE=∠ADP
∵AD=AE，∠EAD=90°
∴将△AEF绕点A逆时针旋转90°得到△ADG
∴△AEF≌△ADG，∠FAG=90°
∴AG=AF，∠ADG=∠AEF
∵EF⊥PD，AE⊥BC
∴∠AEF+∠PEF=90°，∠FPE+∠PEF=90°
∴∠AEF=∠FPE
∵∠ADG=∠AEF，∠FPE=∠ADP
∴∠ADG=∠ADP
∴点G在PD上
∵AF=AG，∠FAG=90°
∴
∵FG=DF-DG=DF-EF
∴
（2）DF+EF=AF