Question

如图，已知抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，点A的横坐标为-1，过点C的直线与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB=5t，且0＜t＜1．
（1）确定b，c的值；
（2）求线段QH的长度（用含t的式子表示）；
（3）依点P的变化，是否存在t的值，使△COQ与△QPH相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）根据直线CQ的解析式可求出C点的坐标，然后将A、C坐标代入抛物线中即可求出b、c的值．
（2）根据（1）得出的抛物线可求出B点的坐标，即可得出∠PBH的三角函数值（通过相似三角形△BHP，△BOC来求也行）．已知了BP的坐标，即可根据∠PBH的三角函数求出BH、PH的长，可根据直线CQ的解析式求出OQ的长，那么由QH=OH-OQ或QH=OQ-OH（当H在OQ之间时）即可得出QH的表达式．
（3）本题要分情况进行讨论：
①当Q在OH之间时，此时QH=OH-OQ，可分△OQC∽△HPQ和△OQC∽△HQP两种情况来求，可根据各自的对应成比例线段求出t的值．
②当Q在BH之间时，此时QH=OQ-OH，PH∥OC，只有△QHP∽△QOC一种情况，可根据对应成比例线段求出t的值．
【解析】
（1）c=-3
将（-1，0）和c=-3代入，
得b=-．

（2）设P坐标为（x，y），由，
可求得A（-1，0），B（4，0）．
由，
可求得Q（4t，0）．
由题意可证△BHP∽△BOC，
OB：OC：BC=4：3：5即BH：HP：BP=4：3：5，
BP=5t，则BH=4t=4-x，OH=x=4-4t
而QH=OH-OQ或QH=OQ-OH（当H在OQ之间时）
又因为OQ=4t，BH=4t
所以，QH=4-4t-4t或QH=4t-（4-4t）
即QH=4-8t或8t-4
即QH=|4-8t|．

（3）存在这样的t的值使△COQ与△QPH相似，
当QH=OH-OQ=4-8t时，PH=3t，OQ=4t，OC=3，QH=4-8t，
若相似，则QH：OC=3：4，
所以t=，
当QH=OQ-OH=8t-4时，PH=3t，OQ=4t，OC=3，QH=8t-4，
若相似，则QH：OC=3：4，
所以t=，
当QH=OH-OQ=4-8t时，OQ：QH=OC：PH，
得，t2+2t-1=0
所以t1=-1，t2=--1（舍去）
综上，存在t的值，t的值为或或．