Question

已知，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC边于点E．
（1）如图1，求证△ABF∽△COE；
（2）如图2，点O是AC边的中点，AB=1，AC=2．①求证BF=OE；②求OE的长．

Answer

（1）由垂直的性质和等量代换，可得∠BAF=∠C，∠ABF=∠COE，即可证得；
（2）①易得AB=OC，由（1）知△ABF∽△COE，即可证明BF=OE；②根据三角形的面积得AD=，由勾股定理得BO、BD的长，设OE=BF=x，由又△BDF∽△BOE，可得出DF=x，在直角△DFB中，根据勾股定理解答出即可．
【解析】
（1）∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAC+∠BAF=90°，
∴∠BAF=∠C，
∵OE⊥OB，
∴∠BOA+∠COE=90°，
∵∠BOA+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠COE，
∴△ABF∽△COE；

（2）①∵O是AC边的中点，AC=2，
∴AO=OC=1，
∵AB=1，
∴AB=OC，
由（1）知△ABF∽△COE，
∴△ABF≌△COE，
∴BF=OE；
②在直角△ABC中，BC===，
由S△ABC=AB×AC=AD×BC得，2=AD，
∴AD=，
在直角△ABD中，BD===，
在直角△ABO中，BO===，
∵∠BDF=∠BOE=90°，∠FBD=∠EBO，
∴△BDF∽△BOE，
∴=，
设OE=BF=x，
∴=，
∴DF=x，
在直角△DFB中，由BF2=BD2+FD2，
得，x2=+x2，
∴x=，
∴OE的长为．