Question

如图，点P是反比例函数（x＞0）的图象上的一个动点，PA⊥x轴于点A，延长AP至点B，使PB=PA，过点B作BC⊥y轴于点C，交反比例函数图象于点D．
（1）填空：S_△AOP______S_△COD（填“＞“＜”或“=”）
（2）当点P的位置改变时，四边形PODB的面积是否改变？说明理由．
（3）连接OB，交反比例函数（x＞0）的图象于点E，试求的值．

Answer

（1）根据P、D两点在反比例函数（x＞0）的图象上，且PB=PA，设P（m，），则B（m，），D（，），由此可求S△AOP，S△COD，比较大小；
（2）由S四边形PODB=S矩形OABC-S△AOP-S△COD，计算结果并判断；
（3）根据B点坐标求直线OB的解析式，联立直线OB的解析式与双曲线解析式，求E点坐标，则由相似三角形的性质可知=．
【解析】
（1）依题意设P（m，），则B（m，），D（，），
故S△AOP=m×=1，S△COD=××=1，
即S△AOP=S△COD，
故答案为：=；

（2）不改变．
理由：∵S四边形PODB=S矩形OABC-S△AOP-S△COD=m×-1-1=2，
∴当点P的位置改变时，四边形PODB的面积总是2，不改变；

（3）设直线OB解析式为y=kx，将B（m，）代入，得k=，
可知直线OB解析式为y=x，
联立，得，即E（，），
故==．