Question

阅读下列材料：
1×2=（1×2×3-0×1×2），
2×3=（2×3×4-1×2×3），
3×4=（3×4×5-2×3×4），
由以上三个等式相加，可得：
1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20．
读完以上材料，请你计算下列各题：
（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11（写出过程）；
（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=______；
（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9=______．

Answer

可得规律：a×b=[a×b×（b+1）-（a-1）×a×b]．
【解析】
1×2=（1×2×3-0×1×2）；
2×3=（2×3×4-1×2×3）；
3×4=（3×4×5-2×3×4）；
…
10×11=（10×11×12-9×10×11）；
…
n×（n+1）=[n×（n+1）×（n+2）-（n-1）×n×（n+1）]．
（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11
=（1×2×3-0×1×2）+（2×3×4-1×2×3）+（3×4×5-2×3×4）+…+（10×11×12-9×10×11）
=（10×11×12）=440；

（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）
=（1×2×3-0×1×2）+（2×3×4-1×2×3）+（3×4×5-2×3×4）+…+[n×（n+1）×（n+2）-（n-1）×n×（n+1）]=[n×（n+1）×（n+2）]；

（3）1×2×3=（1×2×3×4-0×1×2×3）；
2×3×4=（2×3×4×5-1×2×3×4）；
3×4×5=（3×4×5×6-2×3×4×5）；
…
7×8×9=（7×8×9×10-6×7×8×9）；
∴1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9
=（1×2×3×4-0×1×2×3）+（2×3×4×5-1×2×3×4）+（3×4×5×6-2×3×4×5）+…+（7×8×9×10-6×7×8×9）；
=（7×8×9×10）=1260．