Question

如图，已知以AB为直径的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，A、C 两点的坐标分别为A（-1，0）、C（0，3），直线DE交x轴交于点E（-，0）．
（1）求该圆的圆心坐标和直线DE的解析式；
（2）判断直线DE与圆的位置关系，并说明理由．

Answer

（1）设圆心为F，圆是半径为r，连接CF，根据点A、C的坐标表示出OC、OF的长度，然后利用勾股定理列式进行计算即可求出r的值，从而得到圆心的坐标，利用待定系数法列式进行计算即可求出直线DE的解析式；
（2）根据圆的对称性可得点D的坐标，连接DF，然后求出△DOE与△FOD相似，再根据相似三角形对应角相等求出∠ODE=∠OFD，从而推出∠EDF=90°，根据直线与圆的位置关系即可判断．
【解析】
（1）如图，设圆心为F，圆的半径为r，连接CF，
∵A（-1，0）、C（0，3），
∴OC=3，OF=r-1，
根据勾股定理，CF2=OC2+OF2，
即r2=32+（r-1）2，
解得r=5，
r-1=4，
∴圆心坐标为（4，0），
根据圆的对称性，点D的坐标为（0，-3），
设直线DE的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
∴直线DE的解析式为y=-x-3；

（2）直线DE与圆相切．理由如下：
如图，连接DF，
则OE=，OF=4，OD=3，
==，=，
∴=，
又∵∠DOF，
∴△DOE∽△FOD，
∴∠ODE=∠OFD，
∵∠OFD+∠ODF=90°，
∴∠ODE+∠ODF=90°，
即∠EDF=90°，
∴FD⊥ED，
又∵点D在圆上，
∴直线DE与圆相切．