Question

如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x=2 与x轴交于点C，直线y=-2x+7经过抛物线上一点B（5，m），且与直线x=2交于点E．
（1）求m的值及该抛物线的函数关系式；
（2）若点D是x轴上一动点，当△DCB∽△ECB时，求点D的坐标；
（3）若P（x，y）是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB=PC？若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据抛物线的对称轴为x=2，且过O、A两点，因此A点的坐标为（4，0）．可用交点式二次函数通式来设抛物线的解析式，然后根据直线y=-2x+7求出B点的坐标，将B点的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．
（2）可根据点A（4，0），B（5，-3），C（2，0）坐标，当点D在直线x=2的右侧时，进而得出=，进而得出CD的长．当点D在直线x=2的左侧时，得出在△DCB中不可能存在与∠DCB相等的角，进而得出答案．
（3）由题意可知：P点必为线段BC垂直平分线与抛物线的交点，可先求出线段BC的垂直平分线，然后联立抛物线的解析式，即可求出符合条件的P点的坐标．
【解析】
（1）∵点B（5，m）在直线y=-2x+7上，
∴m=-5×2+7=-3，
∴B（5，-3），
∵抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2，
∴点A的坐标为（4，0）
设所求的抛物线对应函数关系式为y=a（x-0）（x-4），
将点B（5，-3）代入上式，
得-3=a（5-0）（5-4），
∴a=-，
∴所求的抛物线对应的函数关系式为y=-x（x-4），
即y=-x2+x．

（2）∵点A（4，0），B（5，-3），C（2，0），
∴AC=4-2=2，BC==3，
当点D在直线x=2的右侧时，
当△DCB∽△ECB，
∴=，
即=，
解得：CD=9，
∴点D的坐标为：（11，0），
当点D在直线x=2的左侧时，∵∠ACB=∠CDB+∠CBA，
且∠ACB＜∠DCB，
∴在△DCB中不可能存在与∠DCB相等的角，
即此时不存在点使三角形相似；
综上所述，存在点D的坐标是（11，0），使三角形相似；

（3）存在符合条件的点P使PB=PC，
∵C（2，0），B（5，-3），
∴∠ACB=45°，
BC垂直平分线的解析式为：y=x-5，
∴，
∴解得：，
，
∴符合条件的点P的坐标为（，）或（，）．