Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD
（1）求证：△ABC∽△DCA；
（2）若AC=6，BC=9，试求梯形ABCD的中位线的长度．

Answer

（1）由AD∥BC，可得∠ACB=∠DAC，再利用∠B=∠ACD，得出△ABC∽△DCA；
（2）根据两组角相等可求得△ABC∽△DCA，可得AC2=BC•AD，进而求得AD的值，根据梯形的中位线定理即可求得中位线的长度．
【解析】
（1）∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠CAD，
又∵∠B=∠ACD，
∴△ABC∽△DCA（两角对应相等，两三角形相似）；

（2）∵△ABC∽△DCA，
∴，
即AC2=BC•AD．
∵AC=6，BC=9，
∴62=9•AD．
解得AD=4，
∴梯形ABCD的中位线长为=6.5．