Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y．
（1）求出cosB的值；
（2）用含y的代数式表示AE；
（3）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；
（4）设四边形DECF的面积为S，求出S的最大值．

Answer

（1）根据勾股定理求出AB后，然后根据角的三角函数即可求出结论；
（2）根据题意求证四边形DECF为矩形，即可推出DF=EC=y，然后结合图形即可求出AE=8-y；
（3）根据余角的性质即可推出∠A=∠BDF，继而求证△ADE∽△DBF，结合对应边成比例和BF=4-x，AE=8-y，即可求出y=-2x+8（0＜x＜4）；
（4）根据（3）所推出的结论，结合矩形的面积公式通过等量代换，即可求出二次函数S=DE•DF=-2x2+8x，然后根据二次函数的最值公式即可求出S的最大值．
【解析】
（1）∵∠C=90°，BC=4，AC=8，
∴cosB=BC：AB=4：4=，

（2）∵∠C=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴四边形DECF为矩形，
∵DF=y，
∴DF=EC=y，
∵AC=8，AE=AC-EC，
∴AE=8-y，

（3）∵∠C=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠A+∠B=90°，∠BDF+∠ADE=90°，
∴∠A=∠BDF，
∴△ADE∽△DBF，
∴，
∵矩形DECF，DF=y，DE=x，
∴CF=x，CE=y，
∴BF=BC-CF=4-x，
∵AE=8-y，
∴，
∴y=-2x+8（0＜x＜4），

（4）∵y=-2x+8，DE=x，DF=y，
∴S=DE•DF=xy=x（-2x+8）=-2x2+8x=-2（x2-4x+4）+8，
即S=-2（x-2）2+8，
∴当x=2时，S的值最大，S的最大值为8．