Question

已知：如图，二次函数y=ax²-2ax+c（a≠0）的图象与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）写出该二次函数的对称轴和顶点坐标；
（3）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；
（4）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据A，C两点坐标，利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）根据配方法求出二次函数的顶点坐标和对称轴即可；
（3）利用相似三角形的性质得出S△CQE=x×4-x2=-x2+2x，进而求出即可；
（4）利用图象以及等腰三角形的性质假设若DO=DF时以及当FO=FD和当DF=OD时分别得出F点的坐标，将纵坐标代入二次函数解析式即可求出P点坐标．
【解析】
（1）∵点C（0，4），
∴c=4，
∵点A的坐标为（4，0），
∴0=16a-8a+4，
∴a=-，
∴y=-x2+x+4；

（2）y=-x2+x+4
=-（x2-2x）+4，
=-[（x2-2x+1）-1]+4，
=-（x-1）2+，
∴该二次函数的对称轴为：直线x=1，顶点坐标为：（1，）；

（3）∵二次函数的对称轴为：直线x=1，点A的坐标为（4，0），
∴B（-2，0，），AB=6，
S△ABC=×6×4=12，
设BQ=x，
∵EQ∥AC，
∴△BEQ∽△BCA，
∴（）2==（）2，
∴S△BEQ=×12=x2，
∴S△CQE=x×4-x2=-x2+2x，
当x=-==3时，S△CQE面积最大，
∴Q点坐标为（1，0）；

（4）存在，
在△ODF中，
①若DO=DF，∵A（4，0），D（2，0），
∴AD=OD=DF=2，
又∵在Rt△AOC中，OA=OC=4，
∴∠OAC=45°，
∴∠DFA=∠OAC=45°，
∴∠ADF=90°，此时，点F的坐标为：（2，2），
由-x2+x+4=2，
解得：x1=1+，x2=1-，
此时，点P的坐标为：P（1+，2）或P（1-，2）；
②若FO=FD，过点F作FM⊥x轴于点M，
由等腰三角形的性质得出：
OM=OD=1，
∴AM=3，
∴在等腰三角形△AMF中，MF=MA=3，
∴F（1，3），
由-x2+x+4=3，
解得：x1=1+，x2=1-，
此时，点P的坐标为：P（1+，3）或P（1-，3）；
③若OD=OF，∵OA=OC=4，且∠AOC=90°，
∴AC=4，
∴点O到AC的距离为2，而OF=OD=2＜2，
∴此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．
综上所述：存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，所求点P的坐标为：P（1+，2）或P（1-，2）或P（1+，3）或P（1-，3）．