Question

如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=m，CD=n．
（1）△ABE与△DCA是否相似？请加以说明．
（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围．
（3）当BE=CD时，分别求出线段BD、CE、DE的长，并通过计算验证BD²+CE²=DE²．
（4）在旋转过程中，（3）中的等量关系BD²+CE²=DE²是否始终成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer

（1）根据∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°得到∠BAE=∠CDA，再根据∠B=∠C=45°得到△ABE∽△DCA；
（2）根据△ABE∽△DCA得到，然后代入AC和AB即可得到两个变量之间的关系；
（3）当BE=CD，即m=n时，由m=，得到m、n的值，然后表示出DE、BD和CE，平方后即可证得结论；
（4）将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH的位置，利用旋转不变性得到CE=HB，AE=AH，∠ABH=∠C=45°，旋转角∠EAH=90°．然后连接HD，证得△EAD≌△HAD，从而得到DH=DE，再根据
∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°，利用勾股定理得到BD2+HB2=DH2，从而证得BD2+CE2=DE2；
【解析】
（1）△ABE与△DCA会相似，
理由是∵∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°
∴∠BAE=∠CDA   …（2分）
又∵∠B=∠C=45°
∴△ABE∽△DCA；

（2）∵△ABE∽△DCA，
∴
由题意可知CA=BA=
∴，
∴m=（1＜n＜2）；

（3）当BE=CD，即m=n时，
由m=，得m=n=
∴DE=BE+CD-BC=2-2，
∴BD=BE-DE=2-=CE，
∵BD2+CE2=2BD2=2（2-）2=12-8，DE2=（2-2）2=12-8
∴BD2+CE2=DE2 ；

（4）成立
证明：如图，将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH的位置，则CE=HB，AE=AH，
∠ABH=∠C=45°，旋转角∠EAH=90°．
连接HD，在△EAD和△HAD中
∵AE=AH，∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD，AD=AD．
∴△EAD≌△HAD   
∴DH=DE
又∵∠HBD=∠ABH+∠ABD=90° 
∴BD2+HB2=DH2，
即BD2+CE2=DE2．