Question

已知：如图，A，B是半圆O上的两点，CD是⊙O的直径，∠AOD=80°，B是的中点．
（1）在CD上求作一点P，使得AP+PB最短；
（2）若CD=4cm，求AP+PB的最小值．

Answer

（1）作出B关于CD的对称点B′，连接AB′，交CD于P点，P就是所求的点；
（2）延长AO交圆与E，连接OB′，B′E，可以根据圆周角定理求得∠AOB′的度数，根据等腰三角形的性质求得∠A的度数，然后在直角△AEB′中，解直角三角形即可求解．
【解析】
（1）作BB′⊥CD，交圆于B′，然后连接AB′，交CD于P点，P就是所求的点；

（2）延长AO交圆于E，连接OB′，B′E．
∵BB′⊥CD
∴=，
∵∠AOD=80°，B是的中点，
∴∠DOB′=∠AOD=40°．
∴∠AOB′=∠AOD+∠DOB′=120°，
又∵OA=OB′，
∴∠A==30°．
∵AE是圆的直径，
∴∠AB′E=90°，
∴直角△AEB′中，B′E=AE=×4=2，
∴AB′===2cm．