Question

如图，已知抛物线与x轴相交于点A、B，与y轴相交于C．
（1）求点A、B、C的坐标及直线BC的解析式；
（2）设抛物线的顶点为点D，求△ACD的面积S
（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP是以AC为一腰的等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）分别把x=0和y=0代入抛物线，即可求出A、B、C的坐标，设直线BC的解析式是y=kx+b，把B、C的坐标代入求出即可；
（2）求出抛物线的顶点坐标，过D作DN⊥OA于N，根据S△ACD=St梯形ONDC+S△AND-S△AND和三角形的面积代入求出即可；
（3）分为两种情况：①以C为圆心，以AC为半径画弧，交BC于P、P′，设此时点的坐标是（x，-x-1），根据勾股定理得出12+22=（0-x）2+[-1-（-x-1）]2，即可求出此时P的坐标；②以A为圆心，以AC为半径画弧，交BC于P″，同法可得到12+22=（2-x）2+[0-（-x-1）]2，求出即可．
【解析】
（1）把y=0代入抛物线得：x2-x-1=0，
解得：x1=2，x2=-1，
∴A（2，0），B（-1，0），
把x=0代入抛物线得：y=0-0-1=-1，
∴C（0，-1），
设直线BC的解析式是y=kx+b，
把B（-1，0），C（0，-1）代入得：，
解得：k=-1，b=-1，
∴y=-x-1，
答：A（2，0），B（-1，0），C（0，-1），直线BC的解析式是y=-x-1．

（2）过D作DN⊥OA于N，
∵y=x2-x-1，
∴x=-=-=，
把x=代入抛物线得：y=-，
∴D（，-），
∴N（，0），
∵A（2，0），C（0，-1），
∴AN=2-=，ON=，DN=，OC=1，
∴S△ACD=St梯形ONDC+S△AND-S△AND，
=×（1+）×+××-×2×1，
=，
答：△ACD的面积是．

（3）分为两种情况：
①以C为圆心，以AC为半径画弧，交BC于P、P′，
此时所得三角形ACP和三角形ACP′是等腰三角形，
设此时点的坐标是（x，-x-1），
∵A（2，0），C（0，-1），AC=CP，
由勾股定理得：AC2=CP′2，
∴12+22=（0-x）2+[-1-（-x-1）]2，
解得：x=±，
当x=时，-x-1=-，
当x=-时，-x-1=，
∴P的坐标是（，-）或（-，），
②以A为圆心，以AC为半径画弧，交BC于P″，
同法可得到：12+22=（2-x）2+[0-（-x-1）]2，
解得：x1=0，x2=1，
∵C（0，-1），
∴x=0舍去，
∴x=1，-x-1=-2，
∴P″（1，-2）．
答：在直线BC上存在一点P，使△ACP是以AC为一腰的等腰三角形，点P的坐标是（，-）或（-，）或（1，-2）．