Question

如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出下列五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧AE是劣孤DE的2倍；⑤AE=BC．其中正确结论的序号是    ．

Answer

先利用等腰三角形的性质求出∠ABE、∠ABC的度数，即可求∠EBC的度数，再运用弧、弦、圆心角的关系即可求出②、④．
【解析】
连接AD，AB是⊙O的直径，则∠AEB=∠ADB=90°，
∵AB=AC，∠BAC=45°，
∴点O是AB的中点，
∴∠ABE=45°，∠C=∠ABC==67.5°，
∴AE=BE，∠EBC=90°-67.5°=22.5°，DB=CD，故②正确，
∵∠ABE=45°，∠EBC=22.5°，故①正确，
∴劣弧等于劣弧，又AD平分∠BAC，所以，即劣弧是劣弧的2倍，④正确．
∵∠EBC=22.5°，BE⊥CE，
∴BE≠2EC，
∴AE≠2EC，故③错误．
∵∠BEC=90°，
∴BC＞BE，
又∵AE=BE，
∴BC＞AE
故⑤错误．
故答案为：①②④．