Question

已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+（1+）x+c经过A（2，0），B（1，n），C（0，2）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求线段BC的长；
（3）求∠OAB的度数．

Answer

（1）根据题意，将AC的坐标代入可得ac的值，即可得抛物线的解析式；
（2）根据点B在抛物线上，可得B的坐标，进而可得BD、CD的值，根据勾股定理可得BC的长；
（3）连接OB，在Rt△BCD中，根据三角函数的定义易得∠BCD=30°，再由等腰三角形的性质，可得∠BCD=∠BOC+∠OBC，进而可得∠OAB=∠BOA=75°．
【解析】
（1）∵抛物线y=ax2+（1+）x+c经过点A（2，0），C（0，2），
∴，
解得
∴抛物线解析式为（2分）；

（2）∵点B（1，n）在抛物线上
∴（3分）
过点B作BD⊥y轴，垂足为D．
∴BD=1，CD=
∴BC=2（4分）；

（3）连接OB．
在Rt△BCD中，BD=1，BC=2
∴∠BCD=30°（5分）
∵OC=BC
∴∠BOC=∠OBC
∵∠BCD=∠BOC+∠OBC
∴∠BOC=15°
∴∠BOA=75°（6分）
过点B作BE⊥OA，垂足为E，则OE=AE
∴OB=AB
∴∠OAB=∠BOA=75°．（7分）