Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A（3，0），B（2，-3），C（0，-3）．
（1）求此函数的解析式及图象的对称轴；
（2）点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．
①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；
②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值．

Answer

（1）知道二次函数的解析式经过三点，把三点坐标代入就能求得函数解析式，由解析式写出对称轴．
（2）①过点B，点P作BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分别为D，E，要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB，算出时间t．
②设对称轴与BC，x轴的交点分别为F，G，根据题意求出PF=QG，MFP≌△MGQ，由S=S四边形ABPQ-S△BPN列出函数关系式，求出最小值．
【解析】
（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点C（0，-3），
∴c=-3，
将点A（3，0），B（2，-3）代入y=ax2+bx+c
得
解得：a=1，b=-2．
∴y=x2-2x-3，
配方得：y=（x-1）2-4，
所以对称轴直线为：x=1；

（2）①由题意可知：BP=OQ=0.1t，
∵点B，点C的纵坐标相等，
∴BC∥OA，
过点B，点P作BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分别为D，E，
要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB，
∵BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分别为D，E，
∴△ABD和△QPE为直角三角形，
当PQ=AB时，又∵BD=PE，
∴Rt△ABD≌Rt△QPE（HL），
∴QE=AD=1．
∵ED=BP=0.1t，DO=BC=2，
∴EO=2-0.1t，
又∵QE=OE-OQ=（2-0.1t）-0.1t=2-0.2t，
∴2-0.2t=1，
解得t=5．
即t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形．
②设对称轴与BC，x轴的交点分别为F，G．
∵对称轴x=1是线段BC的垂直平分线，
∴BF=CF=OG=1．
又∵BP=OQ，
∴PF=QG．
又∵∠PMF=∠QMG，∠MFP=∠MGQ=90°，
∴△MFP≌△MGQ（AAS），
∴MF=MG，
∴点M为FG的中点，
∴S=S四边形ABPQ-S△BPN=S四边形ABFG-S△BPN．
由S四边形ABFG==．
，
∴S=．
又∵BC=2，OA=3，
∴点P运动到点C时停止运动，需要20秒．
∴0＜t≤20．
∴当t=20秒时，面积S有最小值3．