Question

如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC上的任意一点，探究：BD²+CD²与AD²的关系，并证明你的结论．

Answer

探究得到的关系为：BD2+CD2=2AD2，作AE⊥BC于E，由于∠BAC=90°，AB=AC，所以BE=CE，要证明BD2+CD2=2AD2，只需找出BD、CD、AD三者之间的关系即可，由勾股定理可得出AD2=AE2+ED2，AE2=AB2-BE2=AC2-CE2，ED=BE-BD=CD-CE，代入求出三者之间的关系即可得证．
探究得到的关系为：BD2+CD2=2AD2
证明：作AE⊥BC于E，如上图所示：
由题意得：ED=BE-BD=CD-CE，
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴BE=CE=BC，
由勾股定理可得：
AB2+AC2=BC2，
∵AE2=AB2-BE2=AC2-CE2，AD2=AE2+ED2，
∴2AD2=2AE2+2ED2=AB2-BE2+（BE-BD）2+AC2-CE2+（CD-CE）2
=AB2+AC2+BD2+CD2-2BD×BE-2CD×CE，
=AB2+AC2+BD2+CD2-2×BC×BC，
=BD2+CD2，
即：BD2+CD2=2AD2．