Question

如图，⊙O中，=，点C在上，BH⊥AC于H．求证：AH=DC+CH．

Answer

首先在HA上截取HE=HC，连接BE，由BH⊥AC，根据垂直平分线的性质，即可得到BE=BC，得到∠BEC=∠BCE；再由AB=BD，得到∠ADB=∠BAD，而∠ADB=∠BCE，则∠BEC=∠BAD，根据圆内接四边形的性质得∠BCD+∠BAD=180°，易得∠BEA=∠BCD，从而可证出△ABE≌△DBC，得到AE=CD，继而可证得：AH=DC+CH．
证明：在HA上截取HE=HC，连接BE，
∵BH⊥AC，
∴BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE，
∵=，
∴∠ADB=∠BAD，AB=BD，
而∠ADB=∠BCE，
∴∠BEC=∠BAD，
又∵∠BCD+∠BAD=180°，∠BEA+∠BCE=180°，
∴∠BEA=∠BCD，
∵∠BAE=∠BDC，AB=DB，
∴△ABE≌△DBC，
∴AE=CD，
∴AH=AE+EH=DC+CH．