Question

一开口向上抛物线与x轴交于A（m-2，0），B（m+2，0）两点，顶点C，且AC⊥BC．
（1）若m为常数，求抛物线解析式．
（2）点Q在直线y=kx+1上移动，O为原点，当m=4时，直线上只存在一个点Q使得∠OQB=90°，求此时直线解析式．

Answer

（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-m）2-2，由AC⊥BC，由抛物线的对称性可知：△ACB为等腰直角三角形，可解得B点坐标，进而求出a的值；
（2）当m=4时，y=kx+1与x轴交于H，于y轴交于E（0.1），设OB中点为G，以OB为直径作⊙G，由已知直线上只存在一个点Q使得∠OQB=90°，即切点，根据勾股定理和相似三角形求出点H的坐标，从而求出此时直线解析式．
【解析】
（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-m）2-4a，
∵AC⊥BC，
∵由抛物线的对称性可知：△ACB为等腰直角三角形，
又∵A（m-2，0），B（m+2，0）
∴AB=4，
∴y=a（x-m）2-4a，得a=．
∴解析式为：；

（2）当m=4时，B（6，0），y=kx+1与x轴交于H，与y轴交于E（0，1），
设OB中点为G，以OB为直径作⊙G，
当直线与⊙G切于点Q时，只存在一个点Q使∠OQB=90°，
设HO=t，∵HQ是⊙G切线，
∴∠EOH=HQG=90°，
又∵∠OHE=∠QHG，
∴△HOE∽△HQG，
∴=，
由QG=3，OE=1，代入得HQ=3t，
在△HQG中，HQ2+QG2=HG2，即（3t）2+32=（t+3）2，
整理得4t2-3t=0，
解得：t=，或t=0（舍去），
所以点H的坐标为（-，0），
把H（-，0）代入y=kx+1得：k=，
所以此时直线解析式为y=x+1．