Question

如图，⊙O中两条不平行弦AB和CD的中点M，N．且AB=CD，求证：∠AMN=∠CNM．

Answer

连OM，ON，由M，N分别为AB，CD的中点，根据垂径定理的推论得到OM⊥AB，ON⊥CD，即∠AMO=∠CNO=90°，又AB=CD，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等得到OM=ON，所以∠OMN=∠ONM，于是∠AMN=∠CNM．
证明：连OM，ON，如图，
∵M，N分别为AB，CD的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥CD，
∴∠AMO=∠CNO=90°，
∵AB=CD，
∴OM=ON，
∴∠OMN=∠ONM，
∴∠AMN=∠CNM．