Question

如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则tan∠CBE=    ．

Answer

设BC的中点为O，连接AO．由于AB、AE都是⊙O的切线，由切线长定理可知AB=AE，且∠BAO=∠EAO，因此AO垂直平分BE．设AO与BE的交点为F，在Rt△ABO中，BF⊥AO，那么∠OBF=∠BAO，易求得BO、AB的值，从而求出∠OAB即∠CBE的正弦值．
【解析】
设BC的中点为O，连接AO，交BE于F．
由于AB、AE分别切⊙O于B、E，
则AB=AE，且∠BAF=∠EAF．
又∵AF=AF，
∴△ABF≌△AEF．
∴AO垂直平分BE．
在Rt△ABO中，BF⊥AO，则∠FBO=∠BAO，
易知BO=2，AB=5，
∴tan∠BAO=tan∠CBE=．