Question

如图所示，在直角坐标系中，点A是反比例函数的图象上一点，AB⊥x轴的正半轴于B点，C是OB的中点；一次函数y₂=ax+b的图象经过A、C两点，并交y轴于点D（0，-2），若S_△AOD=4．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）观察图象，请指出，当y₁≥y₂时，x的取值范围．

Answer

（1）由S△AOD=4，点D（0，-2），可求A的横坐标；由C是OB的中点，可得OD=AB求出A点纵坐标，从而求出反比例函数解析式；根据A、D两点坐标求一次函数解析式；
（2）观察图象知，在交点A的左边，y1≥y2，即可得出x的取值范围．
【解析】
（1）作AE⊥y轴于E，
∵S△AOD=4，OD=2，
∴OD•AE=4，
∴AE=4，
∵AB⊥OB，C为OB的中点，
∴∠DOC=∠ABC=90°，OC=BC，∠OCD=∠BCA，
∴Rt△DOC≌Rt△ABC，
∴AB=OD=2，
∴A（4，2），
将A（4，2）代入中，得k=8，
∴反比例函数的解析式为：，
将A（4，2）和D（0，-2）代入y2=ax+b，
得，
解得：，
∴一次函数的解析式为：y2=x-2；

（2）根据图象只有在y轴的右侧的情况：
此时当y1≥y2时，0＜x≤4．