Question

如图，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得AC，连接BC，作△ABC的外接圆⊙O，点P为劣弧上的一个动点，弦AB、CP相交于点D．
（1）求∠APB的大小；
（2）当点P运动到何处时，PD⊥AB？并求此时CD：CP的值；
（3）在点P运动过程中，比较PC与AP+PB的大小关系，并对结论给予证明．

Answer

（1）先根据题意判断出△ABC是等边三角形，再根据圆内接四边形对角互补的性质可知∠APB+∠ACB=180°，进而可得出结论；
（2）连接PC，OA，OB，设⊙O的半径为r，则CP=2r，根据⊙O为等边△ABC的外接圆可求出∠OAB=30°，再根据直角三角形的性质可用r表示出OD，CD的值，进而得出结论；
（3）在AP的延长线上取点Q，使PQ=PB，连接BQ，可判断出△BPQ是等边三角形，再根据全等三角形的判定定理得出△ABQ≌△CBP，由全等三角形的性质即可得出结论．
【解析】
（1）∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵∠APB+∠ACB=180°，
∴∠APB=120°；

（2）当点P运动到的中点时，PD⊥AB，
如图1，连接PC，OA，OB，设⊙O的半径为r，则CP=2r，
又∵⊙O为等边△ABC的外接圆，
∴∠OAB=30°，
在Rt△OAD中，
∵OD=OA=，
∴CD=+r=，
∴CD：CP=：2r=3：4；

（3）PC=AP+PB

证明：方法一：
如图2，在AP的延长线上取点Q，使PQ=PB，连接BQ，
∵∠APB=120°，
∴∠BPQ=60°，
∴△BPQ是等边三角形，
∴PB=BQ，
∵∠CBP=∠CBA+∠ABP=60°+∠ABP，
∠ABQ=∠QBP+∠ABP=60°+∠ABP，
∴∠ABQ=∠CBP，
在△ABQ和△CBP中，PB=QB，∠CBP=∠ABQ，CB=AB，
∴△ABQ≌△CBP，
∴CP=AQ=AP+PQ=AP+PB，即PC=AP+PB；
方法二：如图3，B为圆心，BP为半径画圆交CP于点M，连接BM，
∵∠CPB=60°，
∴△PBM是等边三角形，
∵∠CMB=120°，
∴∠CMB=∠APB，
∴△APB≌△CMB，
∴PC=AP+PB；
方法三：（略证）如图4，以A为圆心，A为半径画圆交CP于N，连接AN，
先证△APN是等边三角形，再证△ANC≌△APB，
从而PC=AP+PB．