Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3．问：线段AB上是否存在点P，使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似？若存在，这样的总共有几个？并求出AP的长；若不存在，请说明理由．

Answer

由于以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似时的对应点不能确定，故应分两种情况讨论．
【解析】
存在．
∵AD∥BC，∠A=90°，
∴∠B=90°，
当△PAD∽△PBC时，
=
∵AB=AP+PB=7，AD=2，BC=3，
∴AP=①；
当△ADP∽△BPC时，
=
∵AB=AP+PB=7，AD=2，BC=3，
∴PA=1或PA=6②；
由①②可知，P点距离A点有三个位置：PA=；PA=1或PA=6．