Question

如图，在直角坐标系中，以x轴上一点P（1，0）为圆心的圆与x轴、y轴分别交于A、B、C、D四点，连接CP，⊙P的半径为2．
（1）写出A、B、D三点坐标；
（2）若过弧CB的中点Q作⊙P的切线MN交x轴于M，交y轴于N，求直线MN的解析式．

Answer

（1）求出OA、OB，根据勾股定理求出OC，根据垂径定理求出OD=OC，即可得出答案；
（2）连接PQ，求出∠CPO，求出∠QPM，求出PM，得出M的坐标，求出MN=2ON，根据勾股定理求出ON，得出N的坐标，设直线MN的解析式是y=kx+b，把M、N的坐标代入求出即可．
（1）【解析】
∵P（1，0），⊙P的半径是2，
∴OA=2-1=1，OB=2+1=3，
在Rt△COP中，PC=2，OP=1，由勾股定理得：OC=，
由垂径定理得：OD=OC=，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，），D（0，-）．

（2）【解析】
连接PQ，
在Rt△COP中sin∠CPO=，
∴∠CPO=60°，
∵Q为弧BC的中点，
∴∠CPQ=∠BPQ=（180°-60°）=60°，
∵MN切⊙P于Q，
∴∠PQM=90°，
∴∠QMP=30°，
∵PQ=2，
∴PM=2PQ=4，
在Rt△MON中，MN=2ON，
∵MN2=ON2+OM2，
∴（2ON）2=ON2+（1+4）2，
∴ON=，
∴M（5，0），N（0，），
设直线MN的解析式是y=kx+b，
代入得：，
解得：k=-，b=，
∴直线MN的解析式是y=-x+．