Question

四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60度，∠ADC=120度，求证：BD=AD+CD．

Answer

首先延长AD到E，使DE=DC，连接CE，由∠ADC=120°，可得∠1=60°，再有DE=DC可根据有一个角是60°的等腰三角形是等边角形证出△DEC是等边三角形，同理证出△ABC也是等边三角形，根据等边三角形的性质可得：AB=CB，DC=CE，∠3=∠4=60°，进而得到∠BCD=∠ACE，再证明△BCD≌△ACE，得出BD=AE，由AE=AD+DE，DE=DC进行等量代换可得BD=AD+CD．
证明：延长AD到E，使DE=DC，连接CE，
∵∠ADC=120°，
∴∠1=180°-120°=60°，
∵DC=DE，
∴△DEC是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边角形），
∴DC=CE，∠4=60°，
∵∠ABC=60°，AB=CB，
∴△ABC是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边角形），
∴AC=CB，∠3=60°，
∴∠3=∠4=60°，
∴∠3+∠5=∠4+∠5，
即：∠BCD=∠ACE，
∵在△BCD和△ACE中：
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD=AE（全等三角形对应边相等），
∵AE=AD+DE=AD+DC，
∴DB=AD+DC．