Question

在▱ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF（如图①）．
（1）在图①中画图探究：
①当P₁为射线CD上任意一点（P₁不与C点重合）时，连接EP₁，将线段EP₁绕点E逆时针旋转90°得到线段EG₁．判断直线FG₁与直线CD的位置关系并加以证明；
②当P₂为线段DC的延长线上任意一点时，连接EP₂，将线段EP₂绕点E逆时针旋转90°得到线段EG₂．判断直线G₁G₂与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论．

Answer

①由CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF，易得EF∥CD，设直线FG1与直线CD的交点为H，根据旋转的性质得到∠P1EG1=∠CEF=90°，EG1=EP1，EF=EC，根据等角的余角相等得到∠G1EF=∠P1EC，易证得△G1EF≌△P1EC，则∠G1FE=∠P1CE，而EC⊥CD有∠P1CE=90°，则∠FHC=90°，即可得到FG1⊥CD；
②与①一样易证得△G2EF≌△P2EC，则∠G2FE=∠P2CE，而EC⊥CD有∠P2CE=90°，则∠G2FE=90°，则点G1、F、G2共线，于是得到G1G2⊥CD．
【解析】
①直线FG1与直线CD的位置关系为互相垂直．理由如下：
∵CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF，
∴∠CEF=90°，
∴EF∥CD，
如图1，设直线FG1与直线CD的交点为H，
∵线段EC、EP1分别绕点E逆时针旋转90°依次得到线段EF、EG1，
∴∠P1EG1=∠CEF=90°，EG1=EP1，EF=EC，
∵∠G1EF=90°-∠P1EF，∠P1EC=90°-∠P1EF，
∴∠G1EF=∠P1EC，
∴△G1EF≌△P1EC，
∴∠G1FE=∠P1CE，
又∵EC⊥CD，
∴∠P1CE=90°，
∴∠G1FE=90°．
∴∠FHC=90°，
∴FG1⊥CD．

②按题目要求所画图形见图1，直线G1G2与直线CD的位置关系为互相垂直．