Question

已知：如图，四边形ABCD中，∠ADC=60°，∠ABC=30°，AD=CD．求证：BD²=AB²+BC²．

Answer

将△ADB以D为旋转中心，顺时针旋转60°，使A与C点重合，B与E点重合，连接BE，根据旋转的性质得∴∠ABD=∠CED，∠A=∠ECD，AB=CE，DB=DE，易得△DBE为等边三角形，则DB=BE，根据周角的定义和四边形内角和定理得∠ECB=360°-∠BCD-∠DCE=360°-∠BCD-∠A=360°-（360°-∠ADC-∠ABC）=60°+30°=90°，则△ECB为直角三角形，根据勾股定理得EC2+BC2=BE2，利用等线段代换即可得到结论．
【解析】
如图，
将△ADB以D为旋转中心，顺时针旋转60°，使A与C点重合，B与E点重合，连接BE，
∴∠ABD=∠CED，∠A=∠ECD，AB=CE，DB=DE，
又∵∠ADC=60°，
∴∠BDE=60°，
∴△DBE为等边三角形，
∴DB=BE，
又∴∠ECB=360°-∠BCD-∠DCE
=360°-∠BCD-∠A
=360°-（360°-∠ADC-∠ABC）
=60°+30°
=90°，
∴△ECB为直角三角形，
∴EC2+BC2=BE2，
∴BD2=AB2+BC2．