Question

已知，如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，E，F分别是线段BC，CD上的点，且BE+FD=EF．求证：∠EAF=∠BAD．

Answer

把△ADF绕点A顺时针旋转∠DAB的度数得到△ABG，AD旋转到AB，AF旋转到AG，根据旋转的性质得到AG=AF，BG=DF，∠ABG=∠D，∠BAG=∠DAF，由∠B+∠D=180°得∠B+∠ABG=180°，即点G、B、C共线，而BE+FD=EF，则有GE=EF，根据三角形全等的判定方法易得△AEG≌△AEF，则∠EAG=∠EAF，而∠BAG=∠DAF，于是有∠EAB+∠DAF=∠EAF，即可得到结论．
证明：把△ADF绕点A顺时针旋转∠DAB的度数得到△ABG，AD旋转到AB，AF旋转到AG，如图，
∴AG=AF，BG=DF，∠ABG=∠D，∠BAG=∠DAF，
∵∠B+∠D=180°，
∴∠B+∠ABG=180°，
∴点G、B、C共线，
∵BE+FD=EF，
∴BE+BG=GE=EF，
在△AEG和△AEF中，
，
∴△AEG≌△AEF，
∴∠EAG=∠EAF，
而∠BAG=∠DAF，
∴∠EAB+∠DAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠BAD．